Может ли призывник по собственному желанию перейти в другую часть?

Теоретически это возможно лишь при наличии двух, либо одного из двух условий:
1) если у военнослужащего есть больные и пенсионного (пожилого, женщины — старше 55 лет, мужчины — старше 60 лет) возраста родители;
2) если у военнослужащего есть ребенок.
Однако в обоих случаях военнослужащий может быть направлен для прохождения службы вблизи дома, только если командование изыщет такую возможность.
(Согласно пункта 3 Указа Президента от 28.05.1996 г. № 791, абзаца 10 пункта 38 Приказа Министра обороны от 02.10.2007 г. № 400)
Во всех остальных случаях военнослужащие по призыву переводятся к новому месту службы без их согласия (часть 4 статьи 15 Положения о порядке прохождения службы, утв. Указом Президента РФ от 16.09.1999 г. № 1237).
Для того, чтобы Вашего сына перевели в воинскую часть, находящуюся ближе к дому, обратитесь с соответствующим рапортом (заявление) в Министерство обороны РФ.
Однако случаи перевода довольно редки. Кроме того, всегда учитывайте желание Вашего сына, так как, может быть, ему нравится часть в которую он попал и у него там сложились хорошие отношения с сослуживцами и командованием. А при переводе в новую часть у него могут возникнуть проблемы с адаптацией.